German Title: Der Pure-Spinor-Superfeld-Formalismus und getwistete Supergravitation

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Abstract

This thesis discusses the pure spinor superfield formalism and its applications, specifically in the context of twisted eleven-dimensional supergravity. We start by developing the pure spinor superfield formalism as a framework for the construction of supermultiplets from a graded equivariant module over the ring of functions on the nilpotence variety. This perspective establishes a connection between algebrogeometric properties of the nilpotence variety and the physics of multiplets. Furthermore, it allows for efficient computations by means of homological algebra. After exploring the formalism in various examples, we extend it to the setting of derived geometry, show that this generalization establishes an equivalence of categories, and relate it to Koszul duality. In particular, this result establishes a method to construct superspace descriptions for any multiplet. As an application, we provide an extensive case study of supermultiplets with six-dimensional $\cN=(1,0)$ supersymmetry and classify all multiplets whose derived invariants for the supertranslation algebra define a line bundle on the nilpotence variety. In the second part, we consider eleven-dimensional supergravity and its twists. We compute the maximal twist in the free perturbative limit starting from the $L_\infty$ action of the super Poincar\'e algebra on the BV complex of component fields. Then, we use the pure spinor superfield formalism to construct a generalization of Poisson--Chern--Simons theory, defined on any supermanifold equipped with an appropriate odd distribution. This theory recovers Cederwall's formulation of eleven-dimensional supergravity, Costello's description of the maximal twist, and gives a pure spinor lift of the interactions in the minimally twisted theory. Compatibility between the pure spinor formalism and twisting implies that all these theories are related by twists. Motivated by holographic duality, we use these methods to explore (twisted) six-dimensional (2,0) supersymmetry. We give a pure spinor construction of the decomposition of the minimally twisted eleven-dimensional supergravity fields into $E(3|6)$-modules and provide an interpretation in terms of supergeometry which hints towards a generalization in the untwisted case.

Translation of abstract (German)

Diese Arbeit behandelt den Pure-Spinor-Superfeld-Formalismus und seine Anwendungen, insbesondere im Hinblick auf getwistete elfdimensionale Supergravitation. Zunächst entwickeln wir den Formalismus als konzeptuellen Rahmen zur Konstruktion von Supermultipletts aus äquivarianten Moduln über dem Ring der Funktionen auf der Nilpotenzvarietät. Mit dieser Perspektive werden Verbindungen zwischen den algebrogeometrischen Eigenschaften der Nilpotenzvarietät und der Physik von Multipletts offengelegt. Zusätzlich ermöglicht sie es effektive Berechnungen mithilfe von Methoden aus der homologischen Algebra durchzuführen. Nachdem wir den Formalismus auf einige Beispiele angewendet haben, erweitern wir ihn auf den Kontext der derivierten Geometrie, zeigen, dass diese Verallgemeinerung eine Äquivalenz von Kategorien liefert, und verbinden sie mit Koszul-Dualität. Insbesondere zeigen diese Resultate, dass der Formalismus Superfeldbeschreibungen für jedes Multiplett konstruiert. Als Anwendung präsentieren wir eine ausführliche Betrachtung zu Multipletts mit sechsdimensionaler $\cN=(1,0)$ Supersymmetrie und klassifizieren hierbei alle Multipletts, deren derivierte Invarianten bezüglich Supertranslationen Geradenbündel über der Nilpotenzvarietät definieren. Im zweiten Teil wenden wir uns elfdimensionaler Supergravitation und deren Twists zu. Wir berechnen den maximalen Twist im perturbativen freien Limes explizit ausgehend von der $L_\infty$-Wirkung der Super-Poincar\'e-Algebra auf den BV Komplex der Komponentenfelder. Darüber hinaus verwenden wir den Pure-Spinor-Superfeld-Formalismus um eine Verallgemeinerung von Poisson--Chern--Simons-Theorie zu konstruieren, welche auf jeder Supermannigfaltigkeit ausgestattet mit einer passenden ungeraden Distribution definiert ist. Diese Theorie vereinheitlicht Cerderwalls Beschreibung von elfdimensionaler Supergravitation, Costellos Formulierung des maximalen Twists und gibt einen Lift der Wechselwirkungen im minimalen Twist. Motiviert durch die holografische Korrespondenz, nutzen wir diese Methoden um (getwistete) (2,0) Supersymmetrie in sechs Dimensionen zu studieren. Wir beschreiben eine geometrische Konstruktion der Zerlegung der Felder minimal getwisteter elfdimensionaler Supergravitation in $E(3|6)$-Moduln mithilfe des Pure-Spinor-Formalismus. Das entstehende geometrische Bild liefert Hinweise für eine Verallgemeinerung im ungetwisteten Fall.