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Abstract

Representations of hyperbolic groups into higher rank Lie groups has been an active topic of study in recent years. In particular the character variety associ- ated with a surface group for some semi-simple Lie group of non-compact type admits remarkable connected components containing only discrete and faithful representations. A union of such connected components is called a higher rank Teichmüller space. In all the known cases, the representations in these compo- nents all satisfy an Anosov property, which is a dynamical property stronger than being discrete and faithful. Some of these spaces can be interpreted as spaces of geometric structures: as for instance convex projective structures on surfaces, or fibered photon structures. In this thesis, we bring original contributions to this area, focusing in par- ticular on the locally symmetric space and parabolic structures associated to Anosov representations. The first part of this thesis is rather general, and dis- cuss parabolic structures constructed using a domain of discontinuity as well as their relation with the locally symmetric space for certain Anosov repre- sentations. We study more precisely the domains of discontinuity that can be interpreted as domains of proper Busemann functions. The second part focuses on maximal representations in Spp2n, Rq, a particu- lar class of higher rank Teichmüller spaces. We characterize maximal represen- tations in terms of geometric structures that admit a special fibration. Finally we study maximal representations that are also Borel Anosov, and show in par- ticular that in Spp4, Rq these representations are Hitchin, answering a question from Canary. This thesis encompasses the results of the arxiv preprints Nearly geodesic immersions and domains of discontinuity [Dav23] and Finite-sided Dirichlet domains for Anosov subgroups [DR24] , a future preprint Geometric structures for maximal representations and pencils , and finally the article Maximal and Borel Anosov representations in Spp2n, Rq [Dav24]. The preprint [DR24] is joint work with Max Riestenberg

Translation of abstract (German)

Die Darstellungstheorie hyperbolischer Gruppen in Lie-Gruppen höheren Ranges ist in den letzten Jahren ein aktives Forschungsthema gewesen. Insbesondere die Charak- tervarietät, die mit einer Flächengruppe für einige halbeinfache Lie-Gruppen nicht- kompakten Typs assoziiert ist, weist bemerkenswerte Zusammenhängskomponenten auf, die nur diskrete und treue Darstellungen enthalten. Eine Vereinigung solcher zusammenhängender Komponenten wird als Teichmüller-Raum höheren Rangs beze- ichnet. In allen bekannten Fällen erfüllen die Darstellungen in diesen Komponenten alle eine Anosov-Eigenschaft, welche eine dynamische Eigenschaft ist, die stärker als diskret und treu ist. Einige dieser Räume können als Räume geometrischer Strukturen interpretiert werden: beispielsweise als konvexe projektive Strukturen auf Flächen oder als gefaserte Photonstrukturen. In dieser Dissertation leisten wir originelle Beiträge zu diesem Bereich, wobei wir uns insbesondere auf den lokal symmetrischen Raum und parabolische Strukturen konzentrieren, die mit Anosov-Darstellungen zusammenhängen sind. Der erste Teil dieser Dissertation ist eher allgemein und diskutiert parabolische Strukturen, die unter Verwendung eines Diskontinuitätsbereichs konstruiert wurden, sowie deren Beziehung zum lokal symmetrischen Raum für bestimmte Anosov-Darstellungen. Wir unter- suchen genauer die Diskontinuitätsbereiche, die als Bereiche geeigneter Busemann- Funktionen interpretiert werden können. Der zweite Teil konzentriert sich auf maximale Darstellungen in Spp2n, Rq, eine besondere Klasse von Teichmüller-Räumen höheren Ranges. Wir charakterisieren maximale Darstellungen, im Hinblick auf geometrische Strukturen, die eine spezielle Faserung zulassen. Schließlich untersuchen wir maximale Darstellungen, die auch Borel Anosov sind, und zeigen insbesondere, dass in Spp4, Rq diese Darstellungen Hitchin sind, was eine Frage von Canary beantwortet. Diese Dissertation umfasst die Ergebnisse der Arxiv-Preprints Nearly geodesic im- mersions and domains of discontinuity [Dav23] und Finite-sided Dirichlet domains for Anosov subgroups [DR24] , eines zukünftigen Preprints Geometric structures for maximal representations and pencils , und schließlich des Artikels Maximal und Borel Anosov Darstellungen in Spp2n, Rq [Dav24]. Der Preprint [DR24] ist eine gemeinsame Arbeit mit Max Riestenberg.