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PDF, English - main document Download (2MB) | Lizenz: Generalising nonlinear population models- Radon measures, Polish spaces and the flat norm by Düll, Christian Alexander underlies the terms of Creative Commons Attribution-NoDerivatives 4.0

Abstract

This thesis deals with Radon measures and how they can be used to extend nonlinear structured population models from the classical Euclidean state spaces to abstract Polish metric spaces. To this end, we first investigate the functional analytic properties of the space of Radon measures under the flat norm and show that in some sense the latter generalises the well-known Wasserstein distance W_1 from the conservative to the unbalanced case. We then apply variational inequality theory to derive an explicit formula for the flat distance between a linear combination of Dirac deltas and a fixed Dirac measure.

The second part of the thesis deals with structured population models in measures. As a start, we consider the Euclidean case and prove well-posedness of the linear model, first without and then with state-independent influx, using Duhamel's principle. Subsequently, the nonlinear model is solved via a reduction to a linear model with frozen measure arguments. The gathered insights in the R^d case enable us to abstract the necessary concepts so that we can transfer the model formulation to general Polish metric spaces. However, in the absence of a vector space structure, we cannot rely on a governing differential equation, and introduce a suitable implicit integral representation instead which serves both as model and notion of solution. A major step towards well-posedness of the involved Bochner integrals is given by the structure of the space of measures and its favorable properties under the flat norm.

We conclude with various outlooks on the applicability of our theory. At first, several ideas for promising models in measures that can fully exploit the abstract Polish state spaces are sketched. Afterwards, we show how to incorporate measure differential equations and - with a minimal adaptation- also the class of coagulation-fragmentation models into our framework. Finally, it is proven that our flat norm is closely related to a transport type distance developed by Fournier and Perthame to study the asymptotics of nonexpanding transport processes.

Translation of abstract (German)

Diese Arbeit befasst sich mit der Erweiterung nichtlinearer strukturierter Bevölkerungsmodelle von den klassischen euklidischen Zustandsräumen auf polnische metrische Räume. Zu diesem Zweck nutzen wir eine Formulierung in Maßen und untersuchen die Eigenschaften des Raums der Radon Maße unter der flachen Norm. Weiterhin zeigen wir, dass die flache Norm im gewissen Sinne die bekannte Wasserstein-Distanz W_1 vom konservativen zum unausgewogenen Fall verallgemeinert. Anschließend wenden wir die Theorie der Variationsungleichungen an, um eine explizite Formel für den flachen Abstand zwischen einer Linearkombination von Dirac-Deltas und einem festen Dirac-Maß herzuleiten.

Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit strukturierten Populationsmodellen in Maßen. Zunächst betrachten wir den euklidischen Fall und beweisen die Wohldefiniertheit des linearen Modells, zunächst ohne und dann, unter Verwendung des Duhamelschen Prinzips, mit zustandsunabhängigem Zufluss. Anschließend wird das nichtlineare Modell durch eine Reduktion auf ein lineares Modell mit eingefrorenen Maßargumenten gelöst. Die gewonnenen Erkenntnisse im R^d-Fall ermöglichen es uns dann, die notwendigen Konzepte soweit zu abstrahieren, dass wir die Modellformulierung auf allgemeine polnische metrische Räume übertragen können. In Ermangelung einer Vektorraumstruktur können wir uns jedoch nicht auf eine Differentialgleichung berufen und führen stattdessen eine geeignete implizite Integraldarstellung ein, die sowohl als Modell als auch als Lösungsbegriff dient.

Abschließend geben wir verschiedene Ausblicke auf die Anwendbarkeit unserer Theorie. Dafür werden zunächst einige Ideen für Modelle in Maßen skizziert, die die abstrakten polnischen Zustandsräume voll ausnutzen können. Danach zeigen wir, wie Maßdifferentialgleichungen und - mit einer minimalen Anpassung - auch die Klasse der Koagulations-Fragmentierungsmodelle in unserem Ansatz mit einbezogen werden können. Zum Schluss untersuchen wir die enge Verwandschaft unserer flachen Norm zu einer Transportdistanz, die von Fournier und Perthame für das Studium der Asymptotik nicht expandierender Transportprozesse entwickelt wurde.