Preview

PDF, English Download (1MB) | Terms of use

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der nichtparametrischen statistischen Inferenz in Faltungsmodellen, in welchen die Dichte von Summen oder Produkten unabhängiger Zufallsvariablen, also der additiven bzw. multiplikativen Faltung der einzelnen Dichten, betrachtet wird. Faltungstheoreme liefern, dass sich die zugehörigen Fourier- bzw. Mellin-Transformationen multiplizieren. Diese Eigenschaft kann dazu verwendet werden, statistische Methoden herzuleiten. In dieser Arbeit betrachten wir nichtparametrische Inferenz in zwei verschiedene Faltungsmodellen. Einerseits wird der Fall behandelt, dass die zu schätzende Funktion dem Bild von Dichten unter Faltungen entspricht. Andererseits untersuchen wir das Schätzen quadratischer Funktionale und das Testen von Hypothesen einer unbekannten Dichte bei Vorliegen eines multiplikativen Fehlers. Die Arbeit beginnt mit einer Einleitung und einer Zusammenfassung fundamentaler Methoden im ersten Kapitel und ist anschließend in drei weitere Kapitel geteilt. Das zweite Kapitel behandelt die Schätzung der p-fachen additiven Faltung der Dichten von p unabhängigen Zufallsvektoren. Zwei nichtparametrische Schätzmethoden werden untersucht: ein Kerndichteschätzer und ein Projektionsschätzer. Das punktweise und integrierte quadratische Risiko wird betrachtet. Mit Hilfe von Fourier-Analysis wird die Varianz beschränkt und klassische Regularitätsklassen erlauben, den Bias zu kontrollieren. Damit werden Konvergenzraten hergeleitet. Die erreichbaren Konvergenzraten hängen von einer optimalen Wahl der Bandweite des Kerndichteschätzers bzw. der Dimension des Projektionsschätzers ab, die in der Praxis nicht bekannt sind. Deshalb stellen wir eine Methode zur Wahl der Bandweite für den Kerndichteschätzer vor und untersuchen Modellwahl für den Projektionsschätzer. Das theoretisch erwartete Verhalten der Schätzer wird in einer Monte-Carlo-Simulationsstudie veranschaulicht. Das dritte Kapitel der Arbeit thematisiert die Schätzung eines gewichteten quadratischen Funktionals ausgewertet in der Dichte einer strikt positiven Zufallsvariable basierend auf Beobachtungen, die durch einen multiplikativen Fehler verrauscht sind. Wir konstruieren einen Schätzer mit vollständig datengetriebener Wahl des Glättungsparameters basierend auf der Methode von Goldenshluger-Lepski. Anschließend betrachten wir Bedingungen, sodass der Schätzer mit datengetriebener Parameterwahl bis auf logarithmische Faktoren Orakelungleichungen erfüllt. Konvergenzraten werden unter klassischen Regularitätsannahmen hergeleitet. Wir illustrieren die theoretischen Resultate mittels Monte-Carlo-Simulationsstudien. Das vierte Kapitel adressiert Anpassungstests in multiplikativen Fehlermodellen. Der Abstand, der durch das quadratische Funktional aus Kapitel 3 induziert wird, wird verwendet, um zwischen der Hypothese und der Alternative zu unterscheiden. Wir stellen eine vollständig datengetriebene Teststatistik vor, zeigen obere Schranken für Separationsradien und diskutieren Konvergenzraten unter klassischen Regularitätsannahmen. Die Ergebnisse werden ebenfalls durch Monte-Carlo-Simulationsstudien veranschaulicht. Die Arbeit schließt mit einem Ausblick.