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Abstract

Applications of symplectic geometry to the Three-Body Problem have slowly begun appearing in the past few years, allowing one to approach the problem with tools from Floer theory.

In this thesis, we introduce a new variant of Floer theory: Local Wrapped Floer Homology, which generalises the previously-existing 'Wrapped Floer Homology' to degenerate settings. We use this new machinery to prove a generalisation of the famous Poincaré-Birkhoff theorem to open-ended paths with exact Lagrangian ends in a Liouville domain, assuming a twist condition first stated in [arXiv:2011.10386].

We then proceed to improve the applicability of our theorem to real-world problems, by replacing the constraining 'twist condition' mentioned above by a 'Weakened Twist Condition', and by adapting the setup to degenerate Liouville domains.

Finally, we deduce applications to the Three-Body Problem: first to prove existence of infinitely many trajectories of collision, and then trajectories bi-normal to the xz-plane; under the assumption of the Weakened Twist Condition.

Translation of abstract (German)

Anwendungen der symplektischen Geometrie auf das Three-Body Problem (Drei-Körper-Problem) sind in den letzten Jahren allmählich in der Literatur erschienen und ermöglichen es uns, das Problem mit Methoden der Floer-Theorie anzugehen.

In dieser Dissertation führen wir eine neue Variante der Floer-Theorie ein: Die Local Wrapped Floer Homology, die bisher bekannte Wrapped Floer Homology auf degenerierte Situationen verallgemeinert. Mit diesem neuen Werkzeug beweisen wir eine Verallgemeinerung des berühmten Satzes von Poincaré-Birkhoff für nicht geschlossene Pfade mit exakten Lagrange-Enden in einer Liouville-Domäne, unter Annahme einer twist-Bedingung, die erstmals in [arXiv:2011.10386] formuliert wurde.

Anschließend verbessern wir die Anwendbarkeit unseres Satzes auf reale Probleme, indem wir die die oben-genannte twist-Bedingung durch eine Weakened-Twist-Bedingung ersetzen und unseren Satz von Poincaré-Birkhoff auf degenerierte Liouville-Domänen anpassen.

Schließlich leiten wir Anwendungen auf das Three-Body Problem her: Zunächst zum Nachweis der Existenz unendlich vieler Kollisionsbahnen und anschließend von Bahnen, die bi-normal zur xz-Ebene