German Title: Finite Elemente Approximation von Problemen in nicht-Newtonscher Strömungsmechanik

Preview

PDF, English Download (5MB) | Terms of use

Abstract

This dissertation is devoted to the finite element (FE) approximation of equations describing the motion of a class of non-Newtonian fluids. The main focus is on incompressible fluids whose viscosity nonlinearly depends on the shear rate and pressure. The equations of motion are discretized with equal-order d-linear finite elements, which fail to satisfy the inf-sup stability condition. In this thesis a stabilization technique for the pressure-gradient is proposed that is based on the well-known local projection stabilization (LPS) method. If the viscosity solely depends on the shear rate, the well-posedness of the stabilized discrete systems is shown and a priori error estimates quantifying the convergence of the method are proven. In the shear thinning case, the derived error estimates provide optimal rates of convergence with respect to the regularity of the solution. As is well-known, the Galerkin FE method may suffer from instabilities resulting not only from lacking inf-sup stability but also from dominating convection. The proposed LPS approach is then extended in order to cope with both instability phenomena. Finally, shear-rate- and pressure-dependent viscosities are considered. The Galerkin discretization of the governing equations is analyzed and the convergence of discrete solutions is quantified by optimal error estimates.

Translation of abstract (German)

Diese Dissertation ist der Finite Elemente (FE) Approximation von Gleichungen gewidmet, welche die Strömung von bestimmten nicht-Newtonschen Fluiden beschreiben. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf inkompressiblen Fluiden, deren Viskosität nichtlinear von Scherrate und Druck abhängt. Die Bewegungsgleichungen werden mit dem d-linearen Q1/Q1 Stokes-Element diskretisiert, welches die "inf-sup" Stabilitätsbedingung nicht erfüllt. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine Stabilisierungstechnik für den Druckgradienten vorgeschlagen, welche auf der wohlbekannten "local projection stabilization"(LPS) Methode basiert. Falls die Viskosität ausschließlich von der Scherrate abhängt, wird die Wohl-Gestelltheit der stabilisierten diskreten Systeme gezeigt. A priori Fehlerabschätzungen werden bewiesen, welche die Konvergenz des Verfahrens quantifizieren. Im strukturviskosen Fall liefern die hergeleiteten Fehlerabschätzungen optimale Konvergenzraten hinsichtlich der Regularität der Lösung. Bekanntermaßen kann die Galerkin-FE-Methode an Instabilitäten leiden, welche nicht nur aus mangelnder inf-sup Stabilität, sondern auch aus dominierender Konvektion resultieren. Der LPS-Ansatz wird dann erweitert, um beide Quellen der Instabilität zu bewältigen. Schließlich werden Scherrate- und Druck-abhängige Viskositäten betrachtet. Die Galerkin-Diskretisierung der zugehörigen Gleichungen wird analysiert, und die Konvergenz der diskreten Lösungen wird durch optimale Fehlerabschätzungen quantifiziert.