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Cohomologies of coherent sheaves and massless spectra in F-theory

Bies, Martin

German Title: Kohomologien kohärenter Garben und masselose Spektren in F-Theory

PDF, English
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In this PhD thesis we investigate the significance of Chow groups for zero mode counting and anomaly cancellation in F-theory vacua. The major part of this thesis focuses on zero mode counting. We explain that elements of Chow group describe a subset of gauge backgrounds and give rise to a line bundle on each matter curve. The sheaf cohomologies of these line bundles are found to encode the chiral and anti-chiral localised zero modes in this compactification. Therefore, it is of prime interest to compute these sheaf cohomologies. Unfortunately, the line bundles in question are in general non-pullback line bundles. In particular, this is the case for the hypercharge flux employed in F-theory models of grand unified theories (GUTs). Consequently, existing methods, such as the cohomCalg-algorithm, cannot be applied. In collaboration with the mathematician Mohamed Barakat, we have therefore implemented algorithms which determine the sheaf cohomologies of all coherent sheaves on toric varieties. These algorithms are provided by the gap-package SheafCohomologiesOnToricVarieties which extends the homalg_project of Mohamed Barakat. We exemplify these algorithms in explicit (toy-)models of F-theory GUTs.

As a spin-off of this analysis, we proved that in an entire class of F-theory vacua, the matter surface fluxes satisfy a number of relations in the Chow ring, which we related to anomaly cancellation. Based on this evidence we conjecture that the well-known anomaly cancellation conditions in F-theory -- typically phrased as intersections in the cohomology ring -- can be extended even to relations in the Chow ring.

Translation of abstract (German)

In dieser Doktorarbeit untersuchen wir die Signifikanz von Chow-Gruppen für das Zählen von Nullmoden sowie für Anomaliekürzungen in F-Theorie-Vakua.

Im Großteil dieser Arbeit konzentieren wird uns auf das Zählen von Nullmoden. Wir erklären, dass Elemente der Chow-Gruppe eine Teilmenge der Eichhintergründe beschreiben und auf jeder Materiekurve ein Geradenbündel induzieren. Die Garbenkohomologien dieser Geradenbündel enkodieren die chiralen und anti-chiralen lokalisierten Nullmoden dieser Kompaktifizierung. Folglich ist es von zentralem Interesse diese Garbenkohomologien zu berechnen. Unglücklicherweise sind die zu betrachtenden Geradenbündel im Allgemeinen keine Rückzugsgeradenbündel. Dies trifft insbesondere auf den Hyperladungsfluss zu, welcher in F-Theorie-Modelle von großen vereinheitlichten Theorien (GUT) verwendet wird. Daher konnten existierende Methoden, wie der cohomCalg-Algorithmus, nicht angewendet werden. In Zusammenarbeit mit dem Mathematiker Mohamed Barakat haben wir daher Algorithmen implementiert, welche die Garbenkohomologien aller kohärenten Garben auf torischen Varietäten berechnen. Diese Algorithmen werden durch das gap-Paket SheafCohomologiesOnToricVarieties bereitgestellt, welches das homalg_project von Mohamed Barakat ergänzt. Beispielhaft wenden wir diese Algorithmen in expliziten F-Theorie-GUT-Modellen an.

Als Nebenprodukt dieser Analyse, konnten wir zeigen, dass in einer gesamten Klasse von F-Theorie-Vakua die Materieoberflächenflüsse einige Relationen im Chow-Ring erfüllen, welche wir mit Anomaliekürzungen in Beziehung setzen konnten. Basierend auf dieser Beobachtung vermuten wir, dass die wohlbekannten Anomaliekürzungsbedingungen in F-Theorie -- normalerweise durch Schnitte im Kohomologiering ausgedrückt -- sogar zu Bedingungen im Chow-Ring erweitert werden können.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Weigand, Prof. Dr. Timo
Date of thesis defense: 1 February 2018
Date Deposited: 15 Feb 2018 10:25
Date: 2018
Faculties / Institutes: The Faculty of Physics and Astronomy > Institute for Theoretical Physics
Subjects: 510 Mathematics
530 Physics
Controlled Keywords: coherent sheaf, sheaf cohomology, F-theory, String theory, Massless spectra
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