English Title: Upscaling and multigrid methods for flow in heterogeneous porous media

Preview

PDF, German Download (2MB) | Terms of use

Abstract

Die Arbeit beschaeftigt sich mit Upscalingsverfahren und Mehrgitterverfahren fuer ein Mehrskalenproblem. Wir betrachten ein Modell fuer die Stroemung in einem heterogenen poroesen Medium, wie es in einem Grundwasserleiter vorliegt. Durch die Heterogenitaeten der Permeabilitaet des Bodens auf den verschiedenen Laengenskalen entsteht das Mehrskalenproblem. Ist man hier am Verhalten auf der Makroskala interessiert, muss der Einfluss kleinskaliger Vorgaenge durch ein geeignetes Upscaling auf dieser beruecksichtigt werden. Wir entwickeln mit der Coarse Graining Methode ein neues Verfahren zum Upscaling, indem das feinskalige Permeabilitaetsfeld hochskaliert wird. Durch das Hochskalieren enthaelt das Feld nur noch Heterogenitaeten, die auf Skalen groesser als eine gegebene Laengenskala variieren. Die Methode liefert im Rahmen einer stochastischen Modellierung einen skalenabhaengigen effektiven Permeabilitaetstensor. Die gewonnene effektive Permeabilitaet wird stoerungstheoretisch und mithilfe einer Renormierungsgruppen-Analysis berechnet. Im Grenzfall eines Upscalings zu sehr grossen Skalen erhaelt man im zweidimensionalen, isotropen Fall den geometrischen Mittelwert, der als exakter Wert bekannt ist. Wir erweitern die theoretische Herleitung des hochskalierten Permeabilitaetsfeldes zu einem numerischen Upscalingsverfahren der Permeabilitaet, in der lokal hochskalierte Permeabilitaetskoeffizienten durch die Loesung eines Zellproblems berechnet werden. Die numerischen Berechnungen erlauben die Ueberpruefung der theoretischen Resultate aus der Coarse Graining Methode, die abgesehen von der Abweichung der hochskalierten Permeabilitaet von Realisierung zu Realisierung in guter Uebereinstimmung sind. In Vergleichen mit einfachen Upscalingsmethoden wie arithmetischer oder geometrischer Mittelung erweist sich das numerische Coarse Graining am besten. Weiter untersuchen wir die theoretisch abgeleiteten Groessen mit dem numerischen Coarse Graining fuer grosse Varianzen des Feldes, fuer die die stoerungstheoretische Berechnung nicht mehr sinnvoll ist. Auf der Basis des numerischen Upscalingsverfahrens entwickeln wir ein algebraisches Mehrgitterverfahren, bei dem der Grobgitteroperator mithilfe der hochskalierten Permeabilitaetsfeldern durch das iterative Coarse Graining berechnet wird. Durch diese Vorgehensweise wird der Grobgitteroperator, der die langwelligen Fehlerkomponenten in einem Mehrgitterzyklus reduziert, an das Problem angepasst. Weiter entwickeln wir fuer das Verfahren Transferoperatoren, die die Loesungen der Zellprobleme benutzen und das Konvergenzverhalten verbessern. Zum Loesen der Stroemungsgleichung, die mit der Finite-Element-Methode diskretisiert wird, vergleichen wir bis zu 15 Mehrgitterverfahren. Neben dem Coarsening-Verfahren betrachten wir das Ruge-Stueben-Verfahren und das Schurkomplement-Verfahren als algebraische Mehrgitterverfahren. Ausserdem setzen wir Verfahren ein, die zur Berechnung des Grobgitteroperators einfache Upscalingsverfahren heranziehen und Verfahren, die mit dem Galerkinprodukt und matrixabhaengigen Transferabbildungen arbeiten. Als Kriterium fuer die Effizienz der Verfahren betrachten wir ausschliesslich die numerisch ermittelten Konvergenzraten. Damit untersuchen wir fuer zufaellig generierte Medien und periodische Medien anhand des Modellproblems ausfuehrlich, wie effizient die Mehrgitterverfahren, die die verschiedenen Upscalingsverfahren und Transferoperatoren verwenden, im Vergleich zu den algebraischen Verfahren sind. Effizienter als die einfachen Verfahren arbeiten die algebraischen Verfahren und die Verfahren mit Galerkinprodukt und matrixabhaengiger Prolongation. Zur Berechnung der Stroemung fuer stark heterogene Felder, Realisierungen des Zufallsfeldes wie auch periodische Medien, arbeiten das Ruge-Stueben-Verfahren und die Galerkinprodukt-Verfahren mit matrixabhaengiger Prolongation in fast allen Faellen am besten. Fuer die Galerkinprodukt-Verfahren mit matrixabhaengigen Transferoperatoren sind die Konvergenzraten, mit Ausnahme fuer das Laminat und die Schachbrett-Medien bei starken Heterogenitaeten, auch fuer die Medien mit steifen Einlagerungen sehr gut. Das Vorgehen beim Coarsening-Verfahren, den Grobgitteroperator durch das numerische Coarse Graining zu bestimmen, erweist sich fuer die Realisierungen des Zufallsfeldes als Permeabilitaetsfeld als erfolgreich. Im Vergleich zum Ruge-Stueben-Verfahren und den Mehrgittervarianten mit matrixabhaengigen Transferoperatoren und Galerkinprodukt liefert das Coarsening-Mehrgitterverfahren mit Ausnahme des Schachbrett-Mediums aber fuer periodische Felder mit steifen Einlagerungen schlechtere Konvergenzraten. Die Konvergenzraten zeigen zusammenfassend, dass das Ruge-Stueben-Mehrgitterverfahren fuer alle Medien mit grosser Heterogenitaet sehr effizient arbeitet. Nur dieses erweist sich als robust.

Translation of abstract (English)

The thesis focuses on upscaling methods and multigrid methods for multiscale problems. We consider a model for the flow in a heterogeneous porous medium as found in groundwater aquifers. The multiscale problem is induced by the heterogeneities of the permeability of the ground on different length scales. For an exact description of this phenomenon all length scales must be taken into account. So, if one is solely interested on the macroscopic behaviour the influence of the subscale behaviour must be considered by an appropriate upscaling. The study aims at developing a new upscaling method for the flow and permeability in such systems. The developed coarse graining method upscales the fine-scale field to an arbitrary length scale by introducing an effective permeability tensor. It incorporates the impact of the subscale fluctuations which are not resolved any more. The method relies on a stochastic modeling with a stationary random field of lognormal distribution for the permeability. While accurate approximations for effective permeability values are known for the case of global upscaling, we give an explicit scale-dependent effective permeability. It is calculated by a perturbation theory and Renormalization Group Analysis. The so gained results agree with the known values for global upscaling. Further, it predicts the scale-dependent transition between the arithmetic mean and the asymptotic value for the global upscaling. Besides, we are able to derive the upscaled variance and the error of the flow solution for the upscaled field. We extend the theoretical upscaling to a numerical scheme for a local upscaling of the permeability field similar to the method of homogenization. The numerical treatment gives the possibility to compute and test all theoretical results of the coarse graining method. The latter are in good agreement with the numerical results. The numerical coarse graining also allows us to compute the theoretically derived results to higher order of the variance for which the results of the perturbation theory are not valid any more. Furthermore, we compare the numerical coarse graining with simple upscaling methods like arithmetic or geometric upscaling for varying length scale. The new upscaling methods proves to be best, if compared by fluxes and by the solution of the flow equation for the upscaled permeability fields. Further, we focus on algebraic multigrid methods for flow in heterogeneous media. Multigrid methods belong to the fastest solvers for large systems of linear equations. Due to the heterogeneity the local permeability field varies over many length scales and exhibits large jumps. To obtain an efficient method with optimal convergence for solving this problem it is important to choose the multigrid components suitable. We consider the coarse graining technique for the numerical upscaling of permeability and develop an algebraic multigrid method which applies the upscaling concept to obtain the coarse grid operator. Thus, the coarse grid operators of the Coarsening multigrid method are adjusted to the scale-dependent fluctuations of the permeability, which is important for an efficient interplay with simple smoothing. The analysis of important properties of the Coarsening multigrid proves numerically the successful application of the combination of smoothing and coarse grid correction owing to the coarse graining technique. By a qualified choice of the boundary conditions for the cell problem and of the grid transfers we attain an improvement of the convergence of 48 per cent for the Coarsening multigrid method. We compare the Coarsening multigrid method to algebraic methods. The numerical convergence rates show that the Coarsening method is as efficient as the Galerkin product and Ruge and Stueben methods for variances smaller than three. For the isotropic case the convergence rate is less than 0.2 for the V-cycle. Thereas, for anisotropic and periodic media the rates of CN-CP are worse compared to GAP-M1 for large variances, except for the test the permeability being a chessboard medium. For large fluctuations in the permeability, the Ruge Stueben method always yields good convergence or is optimal.