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Homogenization of quasilinear elliptic-parabolic equations with respect to measures

Heuser, Philip

German Title: Homogenisierung quasilinearer elliptisch-parabolischer Gleichungen mit maßwertigen Koeffizienten

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Abstract

We investigate the homogenization of quasilinear elliptic and degenerate elliptic-parabolic equations arising in nonlinear filtration and flow transport in saturated as well as unsaturated porous media. The main focus of the thesis is to study these equations on general multidimensional structures, which we characterize by a periodic positive measure $\mu$ on ${\mathbb R}^d$. Our approach contains the classical framework of homogenization on perforated domains and, more importantly, the investigation of networks of arbitrary, possibly nonconstant dimension. To the aim of deriving effective macroscopic equations for nonlinear problems posed on these structures, we prove a new compactness result for bounded sequences $\{u_\varepsilon\}$ in the varying Sobolev spaces $H^{1,p}(\Omega,d\mu_\varepsilon)$, where the measures $\mu_\varepsilon$ are the nontrivial $\varepsilon$-rescalings of $\mu$, namely $\mu_\varepsilon(B):=\varepsilon^d \mu(\varepsilon^{-1}B)$, and where $\varepsilon$ is the typical microscopic length scale parameter. The singular measure approach will also be justified by a fattening ansatz, where a measure $\mu^\delta$, absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure on ${\mathbb R}^d$, models a thin reinforced structure of thickness $\delta >0$. We study in detail the two limit processes $\varepsilon \rightarrow 0$ and $\delta \rightarrow 0$ and show, at least for a large class of quasilinear problems, that the limits commute if the support of the singular measure $\mu$, the weak limit of $\mu^\delta$ as $\delta \rightarrow 0$, is sufficiently connected. On the other hand, by constructing explicit nontrivial counterexamples we will show that the limits do in general not commute on nonconnected structures, such that the homogenized equation will depend on the order we let the two parameters $\varepsilon$ and $\delta$ tend to zero.

Translation of abstract (German)

Wir untersuchen die Homogenisierung von quasilinearen elliptischen bzw. degeneriert elliptisch-parabolischen Gleichungen, die ihre Anwendungen vor allem in der Modellierung von Strömungen durch gesättigte und ungesättigte poröse Medien finden. Im Zentrum der Betrachtung steht die Untersuchung dieser Gleichungen auf allgemeinen, multidimensionalen Strukturen, die durch ein periodisches, positives Maß $\mu$ auf ${\mathbb R}^d$ beschrieben werden. Unser Zugang beinhaltet den Standardfall der Homogenisierung auf perforierten Gebieten. Unser Hauptaugenmerk liegt jedoch vor allem auf Netzwerken beliebiger, möglicherweise nichtkonstanter Dimension. Um effektive, makroskopische Gleichungen für nichtlineare Probleme, die auf diesen Strukturen gestellt sind, herzuleiten, beweisen wir ein neues Kompaktheitsresultat für beschränkte Folgen $\{u_\varepsilon\}$ in den variablen Sobolevräumen $H^{1,p}(\Omega,d\mu_\varepsilon)$, wobei die Maße $\mu_\varepsilon$ nichttriviale $\varepsilon$-Reskalierungen von $\mu$ sind, genauer $\mu_\varepsilon(B):=\varepsilon^d \mu(\varepsilon^{-1}B)$, und $\varepsilon$ die mikroskopische Längenskala abbildet. Unser Zugang mit singulären Maßen wird auch durch einen Andickungsansatz gerechtfertigt,bei dem ein Maß $\mu^\delta$, welches absolut stetig bezüglich des Lebesgue Maßes auf ${\mathbb R}^d$ ist, die Dicke $\delta >0$ einer dünnen, verstärkten Struktur beschreibt. Wir untersuchen detailliert die beiden Grenzübergänge $\varepsilon \rightarrow 0$ und $\delta \rightarrow 0$ und zeigen, jedenfalls für eine große Klasse von quasilinearen Problemen, dass die Limiten vertauschen wenn der Träger des singulären Maßes $\mu$, dem schwachen Limes der Maße $\mu^\delta$ für $\delta \rightarrow 0$, ausreichend zusammenhägend ist. Durch die Konstruktion expliziter nichttrivialer Gegenbeispiele weisen wir andererseits nach, dass die Limiten auf nicht zusammenhängenden Strukturen im Allgemeinen nicht vertauschen, so dass die homogenisierte Gleichung von der Reihenfolge abhängt, in der wir $\varepsilon$ und $\delta$ gegen Null gehen lassen.

Item Type: Dissertation
Supervisor: Jäger, Prof. Dr. Willi
Date of thesis defense: 3 June 2008
Date Deposited: 24 Jun 2008 12:40
Date: 2008
Faculties / Institutes: The Faculty of Mathematics and Computer Science > Department of Applied Mathematics
Subjects: 510 Mathematics
Controlled Keywords: Homogenisierung <Mathematik>, Radon-Maß, Monotoner Operator, Elliptisch-parabolische Differentialgleichung
Uncontrolled Keywords: Dünne Strukturenhomogenization , periodic measures , monotone operators , degenerate parabolic equation , thin structures
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