Deutsche Übersetzung des Titels: Adaptive Finite Elemente-Methoden zur Berechnung instationärer inkompressibler Strömungen

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Abstract

Subject of this work is the development of numerical methods for efficiently solving nonstationary incompressible flow problems. In contrast to stationary flow problems, here errors due to discretization in time and space occur. Furthermore, especially three-dimensional simulations lead to huge computational costs. Thus, adaptive discretization methods have to be used in order to reduce the computational costs while still maintaining a certain accuracy. The main focus of this thesis is the development of an a posteriori error estimator which is computable and able to assess both discretization errors separately. Thereby, the error is measured in an arbitrary quantity of interest (such as the drag-coefficient, for example) because measuring errors in global norms is often of minor importance in practical applications. The basis for this is a finite element discretization in time and space. The techniques presented here also provide local error indicators which are used to adaptively refine the temporal and spatial discretization. A key ingredient in setting up an efficient discretization method is balancing the error contributions due to temporal and spatial discretization. To this end, a quantitative assessment of the individual discretization errors is required. The described methods are validated by several numerical tests. These also include established Navier-Stokes benchmarks as well as a two-phase flow problem with complex three-dimensional geometry.

Übersetzung des Abstracts (Deutsch)

Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung numerischer Verfahren zur effizienten Lösung instationärer inkompressibler Strömungsprobleme. Im Gegensatz zu stationären Strömungsproblemen entstehen hier Diskretisierungsfehler sowohl durch die Diskretisierung in der Zeit als auch durch die Diskretisierung im Ort. Außerdem führen insbesondere dreidimensionale Simulationen zu einem hohen Rechenaufwand. Dies erfordert die Verwendung adaptiver Diskretisierungen, um den Rechenaufwand zu reduzieren und gleichzeitig eine gewisse Genauigkeit beizubehalten. Der Schwerpunkt dieser Dissertation besteht in der Entwicklung eines auswertbaren a posteriori-Fehlerschätzers, der die getrennte Erfassung beider Diskretisierungsfehler ermöglicht. Der Fehler wird dabei in einer beliebigen Größe (wie etwa dem Widerstandsbeiwert) gemessen, da Fehlerangaben in globalen Normen in praktischen Anwendungen meist von geringerer Bedeutung sind. Grundlage dafür ist die Verwendung von Finite-Elemente-Diskretisierungen in Ort und Zeit. Die vorgestellten Techniken liefern außerdem lokale Fehlerindikatoren, die zur adaptiven Verfeinerung der Zeit- bzw. Ortsdiskretisierung verwendet werden. Zur Gestaltung eines effizienten Diskretisierungsverfahren ist die Balancierung der Fehlerbeiträge durch Zeit- bzw. Ortsdiskretisierung nötig, was eine zuverlässige quantitative Erfassung der einzelnen Diskretisierungsfehler erfordert. Die präsentierten Methoden werden anhand verschiedener numerischer Tests validiert. Dabei werden auch etablierte Navier-Stokes-Benchmarks sowie ein Zweiphasenströmungsproblem mit komplexer, dreidimensionaler Geometrie betrachtet.