Englische Übersetzung des Titels: On finiteness of the class number of lattices with signature (2,n) with simple control space

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Abstract

Wir untersuchen Modulformen zu orthogonalen Gruppen mit vorgegebenen Null- und Polstellen auf Heegnerdivisoren mit Hilfe des Dualitätssatzes von Borcherds. Enthält ein gewisser Kontrollraum, bestehend aus vektorwertigen elliptischen Modulformen, keine nichttriviale Spitzenform, so ist jeder Heegnerdivisor auf der orthogonalen Halbebene der Hauptdivisor einer automorphen Form, genauer eines Borcherdsproduktes. Dabei hängt die betrachtete orthogonale Gruppe ebenso wie der Kontrollraum von einem geraden Gitter der Signatur (2,n) ab. Wir zeigen, daß unter milden zusätzlichen Voraussetzungen für fast alle Isomorphieklassen solcher Gitter nichttriviale Spitzenformen im Kontrollraum existieren. Gibt es im Kontrollraum eines Gitters nur die triviale Spitzenform, so codieren die Fourierkoeffizienten einer bestimmten Eisensteinreihe die Gewichte gewisser holomorpher orthogonaler Modulformen, die nach unten durch das singuläre Gewicht beschränkt sind. Für Gitter großer Determinante finden wir solche Fourierkoeffizienten, die diese Schranke unterschreiten. Daher muß der Kontrollraum dann nichttriviale Spitzenformen enthalten. Ferner konstruieren wir eine Liftungsabbildung von elliptischen Modulformen zur Hecke-Gruppe der quadratfreien Stufe N in den Kontrollraum. Diese ist auf gewissen durch das Verschwinden von Fourierkoeffizienten in arithmetischen Progressionen definierten Räumen injektiv und überführt Spitzenformen in Spitzenformen. Für Gitter, deren Determinante eine ungerade Primzahl ist, ist dieser Lift ein Isomorphismus zwischen dem Heckeschen '+'- oder '-'-Raum und dem Unterraum der Spitzenformen im Kontrollraum, abhängig von der Gestalt des Gitters.

Übersetzung des Abstracts (Englisch)

We investigate modular forms with respect to orthogonal groups with prescribed zeros and poles along Heegner divisors using the Borcherds duality theorem. If a certain control space consisting of vector valued elliptic modular forms contains no non-trivial cusp form, then every Heegner divisor on the orthogonal upper half plane is the divisor of an automorphic form, more precisely of a Borcherds product. The group under consideration as well as the control space depend on an even lattice of signature (2,n). We show that under mild additional conditions, for almost all isomorphy classes of these lattices there are non-trivial cusp forms in the control space. If the control space attached to a lattice contains only the trivial cusp form, then the Fourier coefficients of a certain Eisenstein series represent the weights of some holomorphic orthogonal modular forms. Therefore they are bounded from below by the singular weight. Given a lattice with large determinant, we find a Fourier coefficient violating this bound. But then there must be non-trivial cusp forms. Moreover we construct liftings taking elliptic modular forms on the Hecke group of squarefree level N to forms in the control space. These are injective on certain spaces defined by conditions on vanishing of Fourier coefficients in arithmetic progressions and take cusp forms into cusp forms. If the lattice under consideration has determinant an odd prime, the lifting is an isomorphism between the Hecke '+'- or '-'-space and the subspace of cusp forms in the control space, depending on the structure of the lattice.