Deutsche Übersetzung des Titels: Ein Unfitted Discontinuous Galerkin Verfahren für Simulationen auf der Microskala und Numerisches Upscaling

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Abstract

The aim of this thesis is the development of a new discretization method for solving partial differential equations on complex shaped domains. Many biological, physical, and chemical applications involve processes on such domains and the numerical treatment of such processes is a challenging task. The proposed method offers a higher-order discretization where the mesh is not required to resolve the complex shaped boundary. The method combines the Unfitted Finite Element method with a Discontinuous Galerkin discretization. Trial and test functions are defined on a structured grid and their support is restricted according to the domain boundary. Essential boundary conditions are imposed weakly via the Discontinuous Galerkin formulation. Thus, the mesh is not required to resolve the domain boundary but higher-order ansatz functions can still be used. Hence it is possible to vary the size of the ansatz space independently of the geometry. For an elliptic test problem, stability and convergence properties of the method are analyzed numerically. Even though some assumptions of the underlying Discontinuous Galerkin method regarding the finite element mesh cannot be guaranteed, the method is stable in all tests and converges optimally. The control over the size of the approximation space is especially attractive for applications like numerical upscaling and multi-scale simulations. In this thesis the method is successfully applied to numerical upscaling of a stationary flow problem and to a time-dependent transport problem, where the complex domains used are artificially generated as well as experimentally measured structures, obtained from micro X-ray CT scans.

Übersetzung des Abstracts (Deutsch)

Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Diskretisierungsverfahrens zur Lösung partieller Differentialgleichungen auf Gebieten mit komplizierten Rändern. In vielen biologischen, physikalischen und chemischen Anwendungen treten Prozesse auf solchen Gebieten auf, deren numerische Behandlung eine Herausforderung darstellt. Das entwickelte Verfahren erlaubt eine Diskretisierung mit Ansatzfunktionen höherer Ordnung, wobei das Gitter den komplexen Rand nicht auflösen muss. Das Verfahren stellt eine Kombination aus der ,,Unfitted Finite Element''-Methode und einem Discontinuous-Galerkin-Verfahren dar. Ansatz- und Testfunktionen sind auf einem strukturierten Gitter definiert und ihr Träger wird entsprechend des Gebietsrandes eingeschränkt. Essentielle Randbedingungen werden durch die Discontinuous-Galerkin-Formulierung schwach erzwungen. Dies führt dazu, dass das Gitter den Gebietsrand nicht auflösen muss, aber trotzdem Ansatzfunktionen höherer Ordnung verwendet werden können. Dadurch ist es möglich die Größe des Ansatzraumes unabhängig von der geometrischen Struktur zu variieren. Anhand eines elliptischen Testproblems werden Stabilitäts- und Konvergenzeigenschaften des Verfahrens numerisch untersucht. Auch wenn verschiedene Voraussetzungen des zugrunde liegenden Discontinous-Galerkin-Verfahrens bezüglich des Finite-Elemente-Gitters nicht garantiert werden können, zeigt sich das Verfahren in allen Tests stabil und konvergiert optimal. Die Eigenschaft, die Größe des Ansatzraumes frei wählen zu können, macht das Verfahren besonders attraktiv für Anwendungen im Bereich des numerischen Upscalings oder für Mehrskalenverfahren. In dieser Arbeit wird die Methode erfolgreich zum numerischen Upscaling eines stationären Flußproblems sowie zur Lösung eines zeitabhängigen Transportproblems angewandt, teils auf künstlich generierte, teils auf experimentell gemessene Strukturen, welche aus Mikro-CT-Aufnahmen gewonnen sind.