German Title: Stochastische und deterministische Methoden zur Simulation der Entwicklung massiver Körper in protoplanetaren Scheiben

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Abstract

Planets emerge from the rotating disk of gas and dust surrounding young stars. Although the process of planet formation has been subject to theoretical and numerical studies for several decades, it has only very recently become possible to not only detect protoplanetary disks but also resolve their substructures. The annular accumulations of dust observed in many protoplanetary disks are suspected to provide favourable conditions for the formation of planetary cores through runaway growth.

To simulate the growth of rocky planets from agglomeration of dust grains, many orders of magnitude in particle number and mass have to be spanned, necessitating the use of statistical methods for abundant particles. However, the gravitational influence of the heaviest bodies must be accounted for with an N-body simulation in order to correctly describe features such as radial redistribution through gravitational scattering. A comprehensive simulation of planet formation thus needs to combine statistical and deterministic methods. Unlike grid-based statistical methods, representative particle methods allow for a natural combination with an N-body simulation, but they are often hampered by their high computational cost.

This work is geared towards simulation methods for planet formation processes as may occur in the dust rings observed in many protoplanetary disks. To this end, we develop an extension of the Representative Particle Monte Carlo method, overcoming some conceptual restrictions that heretofore impeded its use in simulating runaway growth processes. To address the problem of computational cost, we go on to devise a novel computational scheme for stochastic processes, herein referred to as the bucketing scheme, that enjoys linear scaling characteristics with regard to the number of representative particles, as opposed to the quadratic scaling characteristics of the traditional scheme. The bucketing scheme is built upon interval-valued calculations of the mutual interaction rates between representative particles, which are often non-trivial to implement. We therefore propose an ‘interval-aware’ programming paradigm to allow for a simpler implementation of interval-valued numerical routines. We test the simulation method, the computational scheme, and the programming paradigm by implementing a radially resolved statistical model of collisions and dynamical heating designed for studying runaway growth among planetesimals.

Our work lays the foundation for an efficient yet accurate hybrid simulation of protoplanetary growth processes with a combination of statistical and deterministic particle-based methods.

Translation of abstract (German)

Planeten entstehen in den rotierenden Scheiben aus Gas und Staub, von welchen junge Sterne umgeben sind. Obgleich sich in den letzten Jahrzehnten viele Arbeiten durch theoretische Überlegungen und numerische Studien mit der Entstehung von Planeten befaßt haben, ist erst in jüngster Zeit neben dem Nachweis protoplanetarer Scheiben auch die Beobachtung ihrer inneren Struktur gelungen. Es wird vermutet, daß die Bedingungen in den ringförmigen Ansammlungen von Staub, die in vielen protoplanetaren Scheiben zu sehen sind, die Bildung von Planetenkernen durch rapide Wachstumsprozesse begünstigen.

Um in einer Computersimulation abbilden zu können, wie sich Gesteinsplaneten aus der Akkumulation von Staubteilchen bilden, müssen in bezug auf Teilchenzahl und -masse viele Größenordnungen überspannt werden. Für sehr große Teilchenzahlen ist das nur mit statistischen Methoden möglich. Gleichwohl führt der gravitative Einfluß größerer Objekte zu Erscheinungen wie der radialen Umverteilung, die nur mit einer N-Körper-Methode korrekt beschrieben werden können. Eine umfassende Simulation der Planetenentstehung muß also statistische und deterministische Methoden vereinen. Im Gegensatz zu gitterbasierten statistischen Methoden eignen sich Verfahren, die mit repräsentativen Teilchen arbeiten, auf natürliche Weise für die Verbindung mit einer N-Körper-Simulation; jedoch erfordern solche repräsentativen Methoden einen erheblichen Rechenaufwand, wodurch ihrer Nutzbarkeit Grenzen gesetzt sind.

In dieser Arbeit werden Methoden und Schemata entwickelt, um Prozesse der Planetenentstehung simulieren zu können, wie sie in den Staubringen protoplanetarer Scheiben vermutet werden. Zu diesem Zweck entwickeln wir zunächst eine Erweiterung der Representative Particle Monte Carlo-Methode, um diese für die Modellierung rapider Wachstumsprozesse anwendbar zu machen. Um den Kostenaufwand repräsentativer Teilchenmethoden zu verringern, konstruieren wir sodann ein neuartiges Rechenverfahren, das bucketing scheme, dessen rechnerischer Aufwand nicht wie beim herkömmlichen Verfahren in quadratischer, sondern nur noch in linearer Relation zur Zahl der repräsentativen Teilchen steht. Das bucketing scheme erfordert die Berechnung von Intervallbereichen der wechselseitigen Interaktionsraten zwischen repräsentativen Teilchen. Um die Anfertigung intervallwertiger Rechenvorschriften zu erleichtern, entwerfen wir ein Paradigma für intervallsensitives Programmieren (interval-aware programming). Wir erproben die Methode, das Rechenverfahren und das Paradigma in der Praxis, indem wir sie auf die Simulation eines radial auflösenden statistischen Interaktionsmodells anwenden, das für die Untersuchung rapider Wachstumsprozesse unter Planetesimalen entworfen wurde.

Auf Grundlage dieser Arbeit kann eine hybride Simulation zur Untersuchung protoplanetarer Wachstumsprozesse entwickelt werden, die statistische und deterministische Methoden kombiniert, ohne daß ihre rechnerische Effizienz die Genauigkeit ihrer Ergebnisse beeinträchtigt.